O doador, antes de morrer ou ir patar hospital, já não deveria saber que era positivo e constar isso em sua ficha? Começa por aí.

E não, nem todo paciente sabe, poucas pessoas se testam. Mesmo testado e ciente, o teste no órgão doado é feito para garantir que o mesmo está próprio para transplante. Uma pessoa + poderia receber tais transplantes (apesar de ser incomum)

Absolutamente não. O paciente tem o direito do sigilo. Está na lei PLS 389/2013 O correto é o laboratório fazer o exame direito e identificar isso antes dos transplantes.

Nem sempre. Uma boa parte da população teve algum comportamento de risco em algum momento. E como o vírus do HIV é silencioso por muito tempo e ninguém testa, é muito comum as pessoas terem sem saber.